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Ce projet est la suite de séances de recherche à trois ou a quatre au CIRM de 2012 à 2015, qui ont produit le volume « Split Spetses for primitive reflection groups » apparu en 2014 dans Astérisque.
Le travail de Lusztig a montré qu’un certain nombres d’invariants numériques des groupes réductifs finis, comme les degrés unipotents ou la matrice de Fourier, peuvent se calculer combinatoirement à partir du groupe de Weyl (ou du « reflection coset » correspondant, dans le cas des groupes tordus).
Le projet entrepris par Broué, Malle et Michel pendant une conférence sur l’île de Spetses (Grèce) en 1993, est d’essayer de définir des constructions analogues, en remplacant le group de Weyl par un groupe de réflexions complexes. Cela marche pour la classe de groupes dits « Spetsiaux ».
Nous étudierons particulièrement les matrices de Fourier et leur catégorication. Dans les groupes réductifs finis, chaque famille de Lusztig de caractères unipotents est attachée à un petit groupe fini, dont les représentations du double de Drinfeld paramètrent les caractères de la famille.
Toute catégorie modulaire produit une matrice du même genre ; certaines matrices apparaissant dans les Spets ont été expliquées par de telles catégories « exotiques ». Récemment, Bonnafé et Rouquier ont expliqué les matrices liées au groupe cyclique par une catégorie de représentations stables d’un groupe quantique.
Notre but est de compléter et organiser nos résultats pour écrire un autre rapport extensif.