1er au 19 juin 2015
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Le thème proposé pour cette recherche en binôme au CIRM fait partie d’un projet visant la classification des métriques kähleriennes Ricci-plates sur des surfaces complexes.
En 2008, Tian a conjecturé que l’on peut classer toutes les métriques de Kähler complètes à courbure de Ricci nulle en dimension complexe deux en termes de la croissance du volume de la métrique. Suvaina [Su] a déjà obtenu une généralisation des résultats de Kronheimer [K] sur les métriques hyperkähleriennes : elle a établi une correspondance entre les métriques de Kähler Ricci-plates qui sont asymptotiquement localement euclidiennes (ALE) et la classe de déformations Q-Gorenstein de singularités isolées. Au cours de notre séjour au CIRM, nous proposons de nous occuper de la classification des métriques de Kähler complètes asymptotiquement localement plates (ALF), à courbure de Ricci nulle. Quand il s’agit d’une surface de type cyclique, Minerbe [M] a déjà obtenu une caractérisation complète, montrant que les seules sont R3 × S1 munies de la métrique standard, ou une variété de multi-Taub-NUT. On ne connait pas une classification générale des surfaces kähleriennes ALF Ricci-plates non-hyperkähleriennes, ou si la structure topologique à l’infini n’est pas spécifiée. Biquard et Minerbe [BM] ont présenté une manière uniforme de construire des métriques de Kähler Ricci-plates comme des résolutions minimales de quotients des instantons gravitationnels. Nous proposons de ramener la construction de [BM] à l’équation de Monge-Ampère (cf. [TY1,TY2]). Notre projet de recherche vise à étudier des conditions assurant l’unicité des solutions de l’équation de Monge-Ampère, et à utiliser ces résultats pour classer les cas restants. En particulier, nous espérons obtenir des métriques kähleriennes ALF Ricci-plates sur l’ensemble de la famille de déformations des exemples de Biquard-Minerbe, ainsi que sur leurs quotients. |
Participants
Bianca Santoro (City University of New York) Sponsor |
