1881

Le thème central de notre projet est la compréhension des informations encodées dans les propriétés asymptotiques de la fonction de Hilbert de la filtration par les clôtures intégrales {In} des puissances d’un idéal de dimension zéro dans un anneau local de Cohen-Macaulay. Des travaux d’algèbre commutative se sont intéressés à lier des bornes pour les coefficients de Hilbert de l’éclatement normalisé avec la profondeur du gradué associé, dans le cas d’un idéal de dimension zéro. L’outil généralement utilisé est la cohomologie locale de l’éclatement normalisé (clôture intégrale de l’algèbre de Rees), en particulier la compréhension de la nullité de cette cohomologie. Notre objectif principal est la preuve de la conjecture d’Itoh, ouverte depuis 1992. Celle-ci affirme que la nullité du troisième coefficient du polynôme de Hilbert de l’éclatement normalisé est équivalente à l’égalité In+2 = JnI2, où J est n’importe quel idéal engendré par une suite régulière telle que J = I. Ce dernier énoncé est très similaire dans son esprit au résultat célèbre de Huneke et Itoh sur la clôture intégrale des puissances d’une intersection complète. Il implique également le caractère Cohen-Macaulay de l’éclatement normalisé et de son gradué associé lorsque ce troisième coefficient est nul.