11 au 29 juillet 2016
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Le thème de la combinatoire des marches dans des cônes a connu un développement spectaculaire ces dix dernières années. Cet intérêt s’explique par de nombreuses raisons. D’abord, beaucoup d’objets combinatoires sont en bijection avec des modèles de marches dans des cônes, ce qui fournit autant de motifs d’étudier ces derniers. Par ailleurs, l’étude mathématique des marches dans des cônes est très riche, en ce sens qu’elle utilise des outils variés : théorie des représentations des algèbres et groupes de Lie, analyse complexe, méthodes issues de la combinatoire analytique/bijective/énumérative, théorie des probabilités, etc.
Les recherches menées se sont d’abord concentrées sur le cas des marches à petits sauts dans le quart de plan, voir par exemple [1, 2, 3, 5, 7]. Ces résultats décrivent précisément le comportement des marches, tant au niveau qualitatif (nature algébrique/holonome des séries génératrices comptant les marches) qu’au niveau quantitatif (expression exacte des séries génératrices, asymptotique des nombres de marches). Bien qu’il demeure des questions encore ouvertes même dans ce cadre, les recherches s’orientent à présent vers de nouveaux cas, comme l’étude des marches à grands sauts [6] ou des modèles en dimension 3 ou supérieure [4]. De nombreux aspects restent à explorer. [1] Bostan, A., and Kauers, M.: The complete generating function for Gessel walks is algebraic. Proc. Amer. Math. Soc. 138 3063–3078 (2010). |
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